高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介学案新人教A选修4 - 42

四 柱坐标系与球坐标系简介

学习目标
 1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系,并掌握坐标间的互化公式.3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题.

知识点一 柱坐标系

思考 要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什么限制?

答案 空间点的坐标都是三个数值,其中至少有一个是距离.

梳理 柱坐标系的概念

(1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz,设P是空间任意一点,它在平面Oxy上的射影为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示,这样,我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,z∈R.

(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为

知识点二 球坐标系

思考 要刻画空间一点的位置,在空间直角坐标系中,用三个距离来表示,在柱坐标系中,用两个距离和一个角来表示,那么,能否用两个角和一个距离来表示.

答案 可以.

梳理 球坐标系的概念

(1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz,设P是空间任意一点,连接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ,设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以

用有序数组(r,φ,θ)表示.这样,空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标,记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.

(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为

类型一 柱坐标与直角坐标的互化

例1 (1)已知点A的直角坐标为(-1,

,4),求它的柱坐标;

(2)已知点P的柱坐标为

,求它的直角坐标.

解 (1)设点A的柱坐标为(ρ,θ,z),则

 

解得

∴点A的柱坐标为
.

(2)由变换公式

得x=4cos
=2,y=4sin
=2
,z=8.

∴点P的直角坐标为(2,2

,8).

反思与感悟 (1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标,可以先设出点M的柱坐标为(ρ,θ,z),代入变换公式

求ρ;也可以利用ρ2=x2+y2,求ρ.利用tan θ=
,求θ,在求θ的时候特别注意角θ所在的象限,从而确定θ的取值.

(2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.

跟踪训练1 (1)已知点M的直角坐标为(0,1,2),求它的柱坐标;

(2)已知点N的柱坐标为

,求它的直角坐标.

解 (1)ρ=

=1.

∵x=0,y>0,∴θ=

.∴点M的柱坐标为
.

(2)由变换公式

x=2cos
=0,y=2sin
=2,

故点N的直角坐标为(0,2,3).

类型二 球坐标与直角坐标的互化

例2 (1)已知点P的球坐标为

,求它的直角坐标;

(2)已知点M的直角坐标为(-2,-2,-2

),求它的球坐标.

解 (1)由变换公式,得

x=rsinφcosθ=4sin

cos
=2.

y=rsinφsinθ=4sin

sin
=2.

z=rcosφ=4cos

=-2
.

故其直角坐标为(2,2,-2

).

(2)由坐标变换公式,可得

r=

=4.

由rcosφ=z=-2

得cosφ=

=-
,φ=
.

又tanθ=

=1,θ=

从而知M点的球坐标为

.

反思与感悟 由直角坐标化为球坐标时,可设点的球坐标为(r,φ,θ),利用变换公式

求出r,φ,θ即可;也可以利用r2=x2+y2+z2,tan θ=
,cosφ=
来求,要特别注意由直角坐标求球坐标时,要先弄清楚φ和θ所在的位置.

跟踪训练2 把下列各点的球坐标化为直角坐标.

(1)

;(2)
.

解 设点的直角坐标为(x,y,z).

(1)∵(r,φ,θ)=

∴(-1,-1,-
)为所求.

(2)∵(r,φ,θ)=

为所求.

类型三 求点的坐标

例3 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD边长为1,高AA1为

,建立空间直角坐标系(如图),Ax为极轴,求点C1的直角坐标,柱坐标及球坐标.

解 点C1的直角坐标为(1,1,
),

设C1的柱坐标为(ρ,θ,

),ρ=
,tanθ=
=1,θ=

所以C1的柱坐标为

设C1的球坐标为(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π,

由x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ,

得r=

=2
.

由z=rcosφ,得cosφ=

,φ=

又tanθ=

=1,∴θ=

从而点C1的球坐标为

,柱坐标为
,直角坐标为(1,1,
).

反思与感悟 (1)弄清空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系之间的关系,灵活运用直角坐标与柱坐标及球坐标的互化公式.

(2)结合图形,更直观地看到三种坐标之间的联系.

跟踪训练3 在例3的条件下,求点C,A1的直角坐标、柱坐标及球坐标.

解 C的直角坐标为(1,1,0),设C的柱坐标为(ρ,θ,z),球坐标为(r,φ,θ)(ρ≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π).

ρ=

,tanθ=
=1,

∴θ=

,z=0,∴C的柱坐标为
.

又r=

,φ=
,θ=

∴C的球坐标为

.

A1的直角坐标为(0,0,

),A1的柱坐标为(0,0,
),

A1的球坐标为(

,0,0).

1.在空间直角坐标系中,点P的柱坐标为
,P在xOy平面上的射影为Q,则Q点的坐标为(  )

A.(2,0,3) B.(

,0)

C.

D.
答案 B

2.设点M的直角坐标为(2,0,2),则点M的柱坐标为(  )

A.(2,0,2) B.(2,π,2)

C.(

,0,2) D.(
,π,2)

答案 A

3.在球坐标系中,方程r=2表示空间的(  )

A.球B.球面C.圆D.直线

答案 B

4.点P的柱坐标为

,则点P到原点的距离为________.

答案 5

解析 x=ρcosθ=4cos

=2
,y=ρsinθ=4sin
=2.即点P的直角坐标为(2
,2,3),其到原点距离为

=5.

5.已知点M的直角坐标为(1,2,3),球坐标为(r,φ,θ),则tanφ=________,tanθ=________.

答案 

 2

解析 如图所示,

tanφ=
,tanθ=
=2.

1.空间点的坐标的确定

(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的,即(x,y,z).

(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的,即(ρ,θ,z).

(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成的角θ,点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ,以及点到原点的距离组成的,即(r,φ,θ).注意求坐标的顺序为①到原点的距离r;②与z轴正方向所成的角φ;③与x轴正方向所成的角θ.

2.柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的,空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ,θ,z)表示,(ρ,θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标,z是P在空间直角坐标系中的竖坐标.

一、选择题

1.点P的柱坐标是

,则其直角坐标为(  )

A.(2

,2
,3) B.(-2
,2
,3)

C.(-2

,-2
,3) D.(2
,-2
,3)

答案 C

2.设点M的直角坐标为(-1,-1,

),则它的球坐标为(  )

A.

B.
C.
D.
答案 B

3.在直角坐标系中,(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为(  )

A.

B.
C.
D.
答案 C

解析 (1,1,1)关于z轴的对称点为(-1,-1,1),它的柱坐标为

.

4.空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是(  )

A.

B.
C.
D.
答案 A

解析 由P(ρ,θ,z),当θ=

时,点P在平面yOz内.

5.已知点M的球坐标为

,则点M到Oz轴的距离为(  )

A.2

B.
C.2D.4

答案 A

解析 设点M的直角坐标为(x,y,z).

∵(r,φ,θ)=

∴点M的直角坐标为(-2,2,2
),

∴点M到Oz轴的距离为

=2
.

6.在柱坐标系中,点P的坐标为

,则点P的直角坐标为(  )

A.(

,-1,1) B.(
,1,1)

C.(-1,

,1) D.(1,
,1)

答案 D

解析 柱坐标

对应的点的直角坐标是
,即(1,
,1).

二、填空题

7.已知在柱坐标系中,点M的柱坐标为

,且点M在坐标轴Oy上的射影为N,则|MN|=________.

答案 

解析 设点M在平面xOy上的射影为P,连接PN,

则PN为线段MN在平面xOy上的射影.

因为MN⊥直线Oy,MP⊥平面xOy,

所以PN⊥直线Oy,

所以|OP|=ρ=2,|PN|=

=1,

在Rt△MNP中,∠MPN=90°,

所以|MN|=

.

8.在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=

,ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是________.

答案 

解析 如图,

由题意知|OA|=|OB|=1,∠POC=
,∠PAC=
,|PC|=|CA|=
,故所求面积为
.

9.已知柱坐标系Oxyz中,点M的柱坐标为

,则|OM|=________.

答案 3

解析 因为(ρ,θ,z)=

设点M的直角坐标为(x,y,z),则x2+y2=ρ2=4,

所以|OM|=

=3.

10.已知点P1的球坐标是

,P2的柱坐标是
,则|P1P2|=________.

答案 

解析 因为点P1的球坐标是

所以

经计算得P1(2,-2
,0),

因为P2的柱坐标是

所以

经计算得P2(
,1,1).

所以|P1P2|=

.

三、解答题

11.设点M的直角坐标为(1,1,

),求点M的柱坐标与球坐标.

解 由坐标变换公式,可得ρ=

,tanθ=
=1,θ=
,r=
=2.

由rcosφ=z=

(0≤φ≤π),

得cosφ=

,φ=
.

所以点M的柱坐标为

球坐标为

.

12.已知点P的柱坐标为

,点B的球坐标为
,求这两个点的直角坐标.

解 设点P的直角坐标为(x,y,z),

则由柱坐标与直角坐标的变换公式,得

x=

cos
×
=1,y=
sin
=1,z=5.

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