第四篇三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1.考查同角三角函数的基本关系式.

2.考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用.

【复习指导】

本讲复习时应紧扣三角函数的定义,理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式;特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻,可通过适量训练加强理解,掌握其规律. 

基础梳理

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系:sin2α+cos2α=1;

(2)商数关系:=tan α.

2.诱导公式

公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos_α,其中k∈Z.

公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α,

tan(π+α)=tan α.

公式三:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α.

公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α.

公式五:sin=cos_α,cos=sin α.

公式六:sin=cos_α,cos=-sin_α.

诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的余名函数;若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号.

一个口诀

诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限.

三种方法

在求值与化简时,常用方法有:

(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=化成正、余弦.

(2)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.

(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan=….

三个防范

(1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负-脱周-化锐.

特别注意函数名称和符号的确定.

(2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.

(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

双基自测

1.(人教A版教材习题改编)已知sin(π+α)=,则cos α的值为(  ).A.± B.

C. D.±

解析 ∵sin(π+α)=-sin α=,

∴sin α=-.∴cos α=±=±.

答案 D

2.(2012·杭州调研)点A(sin 2 011°,cos 2 011°)在直角坐标平面上位于(  ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析 2 011°=360°×5+(180°+31°),

∴sin 2 011°=sin[360°×5+(180°+31°)]=-sin 31°<0,

cos 2 011°=cos[360°×5+(180°+31°)]=-cos 31°<0,

∴点A位于第三象限.

答案 C

3.已知cos α=,α∈(0,π),则tan α的值等于(  ).

A. B. C.± D.±

解析 ∵α∈(0,π),∴sin α==,∴tan α==.

答案 B

4.cos-sin的值是(  ).

A. B.- C.0 D.

解析 cos=cos=cos=cos=,sin=-sin=-sin=-sin=-.∴cos-sin =+=.

答案 A

5.已知α是第二象限角,tan α=-,则cos α=________.

解析 由题意知cos α<0,又sin2α+cos2α=1,tan α==-.∴cos α=-.答案 -  

考向一 利用诱导公式化简、求值

【例1】?已知f(α)=,求f.

[审题视点] 先化简f(α),再代入求解.

解 f(α)==cos α,

∴f=cos π=cos=cos =.

(1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.

(2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了.

【训练1】已知角α终边上一点P(-4,3),则的值为________.

解析 原式==tan α,根据三角函数的定义,得tan α==-.

答案 -

考向二 同角三角函数关系的应用

【例2】?(2011·长沙调研)已知tan α=2.

求:(1);

(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α.

[审题视点] (1)同除cos α;

(2)利用1=sin2α+cos2α,把整式变为分式,再同除cos2α.

解 (1)===-1.

(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=

===1.

(1)对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可求.转化的公式为(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;(2)关于sin α,cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子.

【训练2】已知=5.则sin2α-sin αcos α=________.

解析 依题意得:=5,∴tan α=2.

∴sin2α-sin αcos α=

===.

答案 

考向三 三角形中的诱导公式

【例3】?在△ABC中,sin A+cos A=,cos A=-cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

[审题视点] 要求三角形的内角,需求得某一内角的某一三角函数值,故结合条件sin A+cos A=知先求角A,进而求其他角.

解 由已知可得 sin=,

因为0<A<π,所以A=.

由已知可得cos A=cos B,把A=代入可得cos B=,又0<B<π,从而B =,所以C=π--=.

在△ABC中常用到以下结论:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C,sin=cos,cos=sin.

【训练3】若将例3的已知条件“sin A+cos A=”改为“sin(2π-A)=-sin(π-B)”其余条件不变,求△ABC的三个内角.

解 由条件得:-sin A=-sin B,即sin A=sin B,

cos A=cos B,平方相加得:

sin2A+3cos2A=2?2cos2A=1,cos A=±.

若cos A=-,则cos B=-,A,B均为钝角不可能.故cos A=,cos B =,故A=,B=,C=.

阅卷报告3——忽视题设的隐含条件致误

【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时,应深挖隐含条件,处理好开方、平方关系,避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围;二要考虑题设中的隐含条件

【示例】?若sin θ,cos θ是关于x的方程5x2-x+a=0(a是常数)的两根,θ∈(0,π),求cos 2θ的值.

错因 忽视隐含条件,产生了增解.

实录 由题意知,sin θ+cos θ=,

∴2=,∴sin 2θ=-,∵θ∈(0,π),∴2θ∈(0,2π),∴cos 2θ=±=±.

正解 由题意知,sin θ+cos θ=.

∴(sin θ+cos θ)2=.

∴sin 2θ=-.

即2sin θcos θ=-<0,

则sin θ与cos θ异号,

又sin θ+cos θ=>0,

∴<θ<,∴π<2θ<.

故cos 2θ=-=-.

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