第五讲 自然数列趣题

第五讲 自然数列趣题

  本讲的习题,大都是关于自然数列方面的计数问题,解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法,望同学们能很好地掌握它.

  例1 小明从1写到100,他共写了多少个数字“1”?

  解:分类计算:

  “1”出现在个位上的数有:

  1,11,21,31,41,51,61,71,81,91共10个;

  “1”出现在十位上的数有:

  10,11,12,13,14,15,16,17,18,19共10个;

  “1”出现在百位上的数有:100共1个;

  共计10+10+1=21个.

  例2 一本小人书共100页,排版时一个铅字只能排一位数字,请你算一下,排这本书的页码共用了多少个铅字?

  解:分类计算:

  从第1页到第9页,共9页,每页用1个铅字,共用1×9=9(个);

  从第10页到第99页,共90页,每页用2个铅字,共用2×90=180(个);

  第100页,只1页共用3个铅字,所以排100页书的页码共用铅字的总数是:

  9+180+3=192(个).

例3 把1到100的一百个自然数全部写出来,用到的所有数字的和是多少?

  解:(见图5—1)先按题要求,把1到100的一百个自然数全部写出来,再分类进行计算:

  如图5—1所示,宽竖条带中都是个位数字,共有10条,数字之和是:

  (1+2+3+4+5+6+7+8+9)×10

  =45×10

  =450.

  窄竖条带中,每条都包含有一种十位数字,共有9条,数字之和是:

  1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10

  +8×10+9×10

  =(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×10

  =45×10

  =450.

  另外100这个数的数字和是1+0+0=1.

  所以,这一百个自然数的数字总和是:

  450+450+1=901.

  顺便提请同学们注意的是:一道数学题的解法往往不只一种,谁能寻找并发现出更简洁的解法来,往往标志着谁有更强的数学能力.比如说这道题就还有更简洁的解法,试试看,你能不能找出来?

习题五

1.有一本书共200页,页码依次为1、2、3、……、199、200,问数字“1”在页码中共出现了多少次?

2.在1至100的奇数中,数字“3”共出现了多少次?

3.在10至100的自然数中,个位数字是2或是7的数共有多少个?

4.一本书共200页,如果页码的每个数字都得用一个单独的铅字排版(比如,“150”这个页码就需要三个铅字“1”、“5”和“0”),问排这本书的页码一共需要多少个铅字?

5.像“21”这个两位数,它的十位数字“2”大于个位数字“1”,问从1至100的所有自然数中有多少个这样的两位数?

6.像“101”这个三位数,它的个位数字与百位数字调换以后,数的大小并不改变,问从100至200之间有多少个这样的三位数?

7.像11、12、13这三个数,它们的数位上的各个数字相加之和是(1+1)+(1+2)+(1+3)=9.问自然数列的前20个数的数字之和是多少?

8.把1到100的一百个自然数全部写出来,用到的所有数字的和是多少?

9.从1到1000的一千个自然数的所有数字的和是多少?

习题五解答

  1.解:分类计算,并将有数字“1”的数枚举出来.

  “1”出现在个位上的数有:

  1,11,21,31,41,51,61,71,81,91,

  101,111,121,131,141,151,161,171,181,191

  共20个;

  “1”出现在十位上的数有:

  10,11,12,13,14,15,16,17,18,19

  110,111,112,113,114,115,116,117,118,119

  共20个;

  “1”出现在百位上的数有:

  100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,

  110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,

  120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,

  130,131,132,133,134,135,136,137,138,139,

  140,141,142,143,144,145,146,147,148,149,

  150,151,152,153,154,155,156,157,158,159,

  160,161,162,163,164,165,166,167,168,169,

  170,171,172,173,174,175,176,177,178,179,

  180,181,182,183,184,185,186,187,188,189,

  190,191,192,193,194,195,196,197,198,199

  共100个;

  数字“1”在1至200中出现的总次数是:

  20+20+100=140(次).

  2.解:采用枚举法,并分类计算:

  “3”在个位上:3,13,23,33,43,53,63,73,83,93共10个;

  “3”在十位上:31,33,35,37,39共5个;

  数字“3”在1至100的奇数中出现的总次数:

  10+5=15(次).

  3.解:枚举法:12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,62,67,72,77,82,87,92,97共18个.

  4.解:分段统计,再总计.

  页数 铅字个数

  1~9共9页 1×9=9(个)(每个页码用1个铅字)

  10~90共90页 2×90=180(个)(每个页码用2个铅字)

  100~199共100页 3×100=300(个)(每个页码用3个铅字)

  第200页共1页 3×1=3(个)(这页用3个铅字)

  总数:9+180+300+3=492(个).

  5.解:列表枚举,分类统计:

  10 1个

  20 21 2个

  30 31 32 3个

  40 41 42 43 4个

  50 51 52 53 54 5个

  60 61 62 63 64 65 6个

  70 71 72 73 74 75 76 7个

  80 81 82 83 84 85 86 87 8个

  90 91 92 93 94 95 96 97 98 9个

  总数1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(个).

  6.解:枚举法,再总计:

  101,111,121,131,141,151,161,171,181,191共10个.

7.解:分段统计(见表五(1)),再总计:

  总的数字相加之和:45+45+10+2=102.

8.解:按题意,试着写出从1到100的自然数中的头、尾和中间的几部分:1,2,3,……,48,49,50,51,……,96,97,98,99,100.仔细观察可知:

  若再补个0(并不影响题目的答案)还可以写出一个类似的算式:

  0+99=99;

  因此共得出50个99.而一个99的数字和是:9+9=18;

  50个99的数字和是:18×50=900,再加上100这个数的数字和是1+0+0=1,就得出从1到100的所有自然数的数字之和为901.

  照以上方法列出算式就非常简洁:

  (9+9)×50+1=901.

  9.解:(见图5—2)写出1~1000的自然数列的头、尾和中间的几部分,并在1的前面加个“0”;

  又因为9+9+9=27,

  1+0+0+0=1,

  所以从1~1000的所有自然数的所有数字之和为:

  27×500+1=13501.

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